序率熱傳方程式

假設場函數u(x,t)滿足

$$ \partial_t u = \kappa \partial_{xx} u + \sigma\xi(x,t) $$

其中ξ(x, t)爲一維Brownian Surface，除了滿足某些特定邊界條件以外，尚滿足

$$ \mathbb E_{x} \left[ \xi(x,t) \right] = \mathbb E_{t} \left[ \xi(x,t) \right] = 0 $$

$$ \mathbb E_{x} \left[ \xi(x,t) \xi(x + y,t) \right] = ||y|| $$

類似針對一般一維熱傳方程的做法，對空間域進行傅立葉轉換則我們有

$$ \partial_t{\hat u} = -4 \pi^2 \nu^2 \kappa \hat u + \frac{j \sigma}{2 \pi \nu} e(t) $$

其中e(t)爲一遵守常態分佈的白噪音。

上述常微分方程之解爲

$$ \hat u(\nu, t) = \hat u(\nu, 0) \exp \left( -4 \pi^2 \nu^2 \kappa t \right) + \frac{j \sigma}{2 \pi \nu} \int^t_0 \exp \left( -4 \pi^2 \nu^2 \kappa (t - \tau) \right) dW(\tau) $$

其中$W(t)$為一Wiener Process，是e(t)的反導數（嚴格來說Wiener Process處處不可微分，因此通常以$W(t)$寫出序率微分方程式，如下一節所示）。

方程式解的統計特性

$\hat u$可寫成序率微分方程式：

$$ \partial|_t \hat u = -4 \pi^2 \nu^2 \kappa \hat u \partial t + \frac{j \sigma}{2 \pi \nu} dW $$

因此

$$ \mathbb E \left[ \partial|_t \hat u \right] = \partial|_t \mathbb E \left[ \hat u \right] = -4 \pi^2 \nu^2 \kappa \mathbb E \left[ \hat u \right]\partial t + \frac{j \sigma}{2 \pi \nu} \mathbb E \left[ dW \right] $$

$$ \mathbb E \left[ \hat u \right] = \hat u(\nu, 0) \exp \left( -4 \pi^2 \nu^2 \kappa t \right) $$

另一方面