假設一網絡以$S_0$的速率穩定增加節點，新節點會和任一既有節點相連，相連的機率為既有節點相連數$x$的函數$r(x)$，則主導網絡中節點相連數機率密度$f(x,t)$變化的Fokker-Planck方程式可寫成

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial x} = S_0 \delta(x-1) $$

其中$p(x,t)$為

$$ p(x,t) = S_0 \left( \frac{r(x)f(x,t)}{\int^{\infty}_1 r(x')f(x',t) dx'} \right) $$

此一模型能推導出節點相連數的冪級數分布。

同樣的模型亦可說明社會上財富／資源的分配、原行星盤上行星和小行星的生成、電力系統複合性事故機率分布等現象。

底下我們推導$r(x)=x^\alpha$，而$\alpha=0,1$或其他非負實數時的情況。

無壟斷成長

最簡單的情況，假設$r(x) = 1$，再令$g(t)= \int r(x)f(x,t) dx' = \int f(x,t) dx$，則

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{S_0}{g} \frac{\partial}{\partial x} \left[ f \right] = S_0 \delta(x-1) $$

$$ \frac{dg}{dt} = \int^{\infty}_1 x \frac{\partial f}{\partial t} dx = \int^{\infty}_1 x S_0 \left( \delta(x-1) - \frac{1}{g} \frac{\partial}{\partial x} \left[ f \right] dx\right) dx = S_0 $$

因此$g(t)=S_0t$（假設$f(x,0)=0$且$f(x) x |^\infty_1 \rightarrow 0$）。由此可得

$$ t\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} = S_0 \delta(x-1) t $$

令$u = \ln(t)$，則

$$ \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial x} = S_0 \delta(x-1) \exp(u)
$$

對x做傅立葉轉換則有

$$ \frac{\partial }{\partial u} F[f] + j2\pi s F[f] = S_0 \exp(-j 2\pi s) \exp(u) $$