Ensembles — Statistical Physics Notes
在μCE中，系統的能量和粒子數皆守恆，又被稱為NVE系統（系統粒子數、體積、總能量守恆）。系統的每一個可能的組態，其發生機率皆相同。
已知大氣有N個相同氣體分子，它們的總位能為E。不考慮氣體分子的動能的情況下，則它們佔據的組態空間體積為
$$ \Omega_{N-1} (E) = \frac{\sqrt{N}}{(N-1)!} E^{N-1} $$
額外地，沿任一氣體分子的位能由0至E積分，應該要得到上述體積。因此
$$ c_{N-1} \int^E_0 \Omega_{N-2} (E -\varepsilon) d\varepsilon = \Omega_{N-1} (E) $$
$$ c_{N-1} \frac{\sqrt{N-1}}{(N-2)!} \frac{E^{N-1}}{N-1} = \frac{\sqrt{N}}{(N-1)!} E^{N-1} $$
$$ c_{N-1} = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{N-1}} $$
因此該氣體分子位能為$\varepsilon$的機率密度函數為
$$ f(\varepsilon) = \frac{c_{N-1}}{\Omega_{N-1} (E)} \Omega_{N-2} (E -\varepsilon) $$
$$ f(\varepsilon) = \frac{1}{E^{N-1}}\frac{\sqrt{N}}{\sqrt{N-1}} \frac{(N-1)!}{\sqrt{N}} \frac{\sqrt{N-1}}{(N-2)!} (E -\varepsilon)^{N-2} $$
$$ f(\varepsilon) = \frac{N-1}{E} \left( 1 - \frac{\varepsilon}{E} \right)^{N-2} $$
設定$\varepsilon_0 = \frac{E}{N}$，則
$$ f(\varepsilon) = \left(1 - \frac{1}{N} \right) \frac{1}{\varepsilon_0} \left( 1 - \frac{1}{N} \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} \right)^{N-2} $$
當N趨近無限時，我們有
$$ f(\varepsilon) \rightarrow \frac{1}{\varepsilon_0} \exp \left( -\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} \right) $$
此和OCE導出的結果相同。
以上是「從系統中隨機抽取一顆氣體分子的位能機率分佈」，但所有氣體分子高度機率分佈的期望值亦會相同。在N趨近於無限時，此期望值就是系統氣體分子位能的極限分佈。