假設均勻物質總長為L、左側溫度為T_0、右側溫度為T_1，
首先我們求出熱傳方程式右側的均值解，其對應到穩定態的溫度分佈：
$$ T_{\infty}(x) = T_0 + \frac{x}{L}(T_1 - T_0) $$
接著定義
$$ \Delta T(x, t) = T(x, t) - T_{\infty}(x) $$
則我們有底下熱傳方程式：
$$ \frac{\partial \Delta T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 \Delta T}{\partial x^2} $$
其中邊界條件為
$$ \Delta T(0, t) = \Delta T(L,t) = 0 $$
我們可以利用傅立葉級數表示$\Delta T$：
$$ \Delta T(x, t) = \sum^{\infty}_{n = 1} \Tau_n(t) \sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right) $$
則
$$ \dot \Tau_n(t) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \Tau_n(t) $$
$$ \Tau_n(t) = \Tau_n(0) \exp \left( -\frac{n^2 \pi^2 t}{L^2} \right) $$