常態分佈滿足加成性：兩滿足常態分佈之隨機變數X與Y，其和Z亦為常態分佈。底下僅推導X與Y滿足標準常態分佈的情況，但兩者若非標準常態分佈、甚至有相關性，仍可透過線性變換得到兩標準常態分佈隨機變數，並透過類似方式證明。
首先機率密度函數的全域積分可寫成
$$ \int f(x,y) dx dy = (2 \pi)^{-1} \int \exp \left(-\frac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right) \right) dx dy $$
現令$U = \frac{1}{2}(X + Y)$、$V = \frac{1}{2} (X - Y)$，則原式
$$ = \pi^{-1} \int \exp \left(- \left( u^2 + v^2 \right) \right) dv du $$
將上式先對v積分，便可得
$$ f_U(u) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \exp \left(- u^2 \right) $$
亦即$U \sim N \left( 0, \frac{1}{2} \right)$，而$Z = 2U \sim N(0,2)$。
n個相互獨立、取自標準常態分佈的隨機變數$Z_i$，其平方之和
$$ Y = \sum Z_i^2 $$
的機率密度函數滿足一自由度為n之開方分布。證明：
$$ 1 = (2 \pi)^{-\frac{n}{2}}\int^{(n)} \exp \left( -\frac{1}{2} \sum z_i^2 \right) \prod dz_i $$
現令$u = \sqrt{\sum z_i^2}$，則原式
$$ = (2 \pi)^{-\frac{n}{2}}\int_u \left( \int_{\omega(u)} \exp \left( -\frac{1}{2} u^2 \right) \frac{d\omega(u)}{|\nabla u|} \right) du $$