在底下所討論的地體供熱模型中，我們忽略地底溫度、流體運動隨著深度不同的變化，並將熱傳導管或流體運輸管路投影為二維空間上的一點。如此的簡化確保我們的分析能有解析解。

純熱傳導模型

熱傳學中，物質中熱通量的公式為

$$ \vec{q} = -\lambda \nabla T $$

其中$q$為熱通量、$\lambda$為熱傳導係數、$T$則為溫度。又空間中一點的能量守恆公式為

$$ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{q}= 0 $$

其中$\rho$為物質密度、$c_p$為定壓下的熱容（heat capacity）。

• 補充說明：$c_p$與$c_v$（定容下熱容）的關係

代入前式，我們可以得到底下的熱傳導方程式（heat conduction equation）

$$ \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho c_p} \nabla^2 T = \alpha \nabla^2 T $$

現在我們欲求出二維空間中，一固定熱功率之點匯（sink）／點源（source）造成的溫度變化。根據Voss-Weyl公式，二維座標中的laplacian運算元以極座標表示為

$$ \nabla^2 = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} $$

假設該點匯／源為原點，則溫度變化輻射對稱於原點，故$\theta$項可忽略。底下介紹兩種方式，推導模型之溫度分布結果。

二維點源／匯熱傳導模型推導－相似度變數

第一個方法係利用模型的相似度：由於溫度的變化受兩個變數（$r$和$t$）影響，而我們又有一道偏微分方程式必須滿足，所以應該可以找出一個相似度變數（similarity variable）$u(r,t)$來完整描述系統（即$T$僅為$u$的函數）。